Ehilà! Come fornitore di commutatori, mi viene spesso chiesto come capire se due elementi si spostano in base al commutatore. Quindi, ho pensato di condividere alcune intuizioni su questo argomento.
Prima di tutto, parliamo di cosa sia un commutatore. In matematica e fisica, il commutatore di due elementi (a) e (b) è definito come ([a, b] = ab - ba). È un concetto davvero utile che ci aiuta a capire la relazione tra due elementi in termini di ordine operativo.
If ([a, b] = 0), allora diciamo che (a) e (b) pendolarismo. Ciò significa che l'ordine in cui moltiplichiamo (a) e (b) non importa; (AB) è lo stesso di (BA). D'altra parte, if ([a, b] \ neq0), quindi (a) e (b) non farsi via e l'ordine di moltiplicazione è importante.
Quindi, come determiniamo effettivamente se due elementi si tradiscono in base al commutatore? Bene, dipende dal tipo di elementi con cui abbiamo a che fare. Diamo un'occhiata a alcuni casi diversi.
Matrici
Le matrici sono uno dei tipi più comuni di elementi in cui usiamo il commutatore. Supponiamo di avere due matrici (a) e (b). Per scoprire se si spostano, calcoliamo semplicemente il commutatore ([a, b] = ab - ba).
Facciamo un semplice esempio. Supponiamo (a = \ inizio {pMatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end {pMatrix}) e (b = \ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ end {pMatrix}).
Innanzitutto, calcoliamo (AB):
[
AB = \ Begin {pMatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end {pMatrix} \ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ end {pMatrix} = \ inizio {pmatrix} 1 \ temps3 + 0 \ tempes0 & 1 \ tempes0 + 0 \ tempes4 \ times3 + 2 \ Times0 & 0 \ Times0 + 2 \ Times4 \ end {pMatrix} = \ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pMatrix}
"
Successivamente, calcoliamo (BA):
[
Ba = \ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 4 \ end {pMatrix} \ inizio {pMatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ end {pMatrix} = \ inizio {pmatrix} 3 \ tempes1 +0 \ Times0 & 3 \ Times0 + 0;
"
Ora calcoliamo il commutatore ([a, b] = ab - ba):
[
[A, b] = \ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pMatrix}-\ inizio {pMatrix} 3 & 0 \ 0 & 8 \ end {pMatrix} = \ inizio {pMatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
"
Poiché ([a, b] = 0), possiamo concludere che (a) e (b) pendolarismo.
E se avessimo matrici più complesse? Bene, il processo è lo stesso, ma i calcoli possono essere un po 'più coinvolti. Potresti voler utilizzare un programma per computer o un calcolatore per aiutare con le moltiplicazioni della matrice.
Operatori
Nella meccanica quantistica, gli operatori vengono utilizzati per rappresentare osservabili fisici. Proprio come le matrici, possiamo usare il commutatore per determinare se due operatori si spostano.
Diciamo che abbiamo due operatori (\ hat {a}) e (\ hat {b}). Per scoprire se si spostano, calcoliamo ([\ hat {a}, \ hat {b}] = \ hat {a} \ hat {b}-\ hat {b} \ hat {a}).
Ad esempio, considera l'operatore di posizione (\ hat {x}) e l'operatore del momento (\ hat {p}). Il commutatore ([\ hat {x}, \ hat {p}] = i \ hbar), dove (i) è l'unità immaginaria e (\ hbar) è la costante di Planck ridotta. Da quando ([\ hat {x}, \ hat {p}] \ neq0), sappiamo che gli operatori della posizione e del momento non si spostano.
Questo ha alcune implicazioni davvero importanti nella meccanica quantistica. Significa che non possiamo misurare la posizione e il momento di una particella contemporaneamente con precisione arbitraria. Questo è noto come il principio di incertezza di Heisenberg.
Elementi di gruppo
Nella teoria del gruppo, possiamo anche usare il commutatore per determinare se due elementi di gruppo si tramandano. Sia (g) un gruppo e lascia (a) e (b) due elementi di (g). Il commutatore di (a) e (b) è definito come ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab).
If ([a, b] = e), dove (e) è l'elemento di identità del gruppo, allora (a) e (b) pendolarismo. Per capire perché, possiamo riscrivere ([a, b] = e) as (a^{-1} b^{-1} ab = e). Moltiplicando entrambi i lati a sinistra da (a) e a destra da (b), otteniamo (Ba = AB).
Ad esempio, considera il gruppo di numeri interi (\ mathbb {z}) in aggiunta. Sia (a) e (b) due numeri interi. Il commutatore ([a, b] = (-a)+(-b)+a+b = 0). Poiché (0) è l'elemento di identità di (\ mathbb {z}) in aggiunta, sappiamo che tutti i due numeri interi spostano.
Perché è importante sapere se due elementi citano?
Sapere se due elementi che si tramuta possono avere alcune conseguenze davvero importanti. Nella meccanica quantistica, come abbiamo visto in precedenza, gli operatori non pendolari portano al principio di incertezza. Nella teoria della matrice, le matrici di pendolarismo hanno alcune belle proprietà. Ad esempio, se due matrici (a) e (b) si spostano, sono contemporaneamente diagonalizzabili.
Nella teoria del gruppo, l'insieme di tutti i commutatori in un gruppo genera un sottogruppo chiamato sottogruppo del commutatore. La struttura del sottogruppo del commutatore può dirci molto sul gruppo stesso.
I nostri prodotti per il commutatore
Come fornitore di commutazioni, offriamo una vasta gamma di commutatori di alta qualità per varie applicazioni. Che tu stia lavorando a un piccolo progetto di ricerca o ad un'applicazione industriale su larga scala, ti abbiamo coperto. Puoi controllare il nostroCommutatoriSul nostro sito Web per vedere i diversi tipi e specifiche che offriamo.
I nostri commutatori sono realizzati con le ultime tecnologie e materiali di altissima qualità per garantire prestazioni e affidabilità ottimali. Forniamo anche un eccellente servizio clienti e supporto tecnico per aiutarti a scegliere il commutatore giusto per le tue esigenze.
Se sei interessato ad acquistare i nostri commutatori o hai domande sui nostri prodotti, sentiti libero di contattarci. Siamo sempre felici di fare una chat e discutere le tue esigenze. Che tu sia uno scienziato, un ingegnere o solo qualcuno curioso dei commutatori, ci piacerebbe lavorare con te.
Riferimenti
- Hall, Marshall. La teoria dei gruppi. Macmillan, 1959.
- Sakurai, JJ e Napolitano, Jim J. Meccanici quantistici moderni. Addison - Wesley, 2011.
- Strang, Gilbert. Algebra lineare e le sue applicazioni. Cengage Learning, 2012.